Calcolatore di integrali tripli
Gli integrali tripli calcolano volume, massa e flusso su regioni tridimensionali — il tipo di problema in cui una regione cartesiana come una scatola ha limiti semplici, ma il solido tra due paraboloidi richiede decisioni attente sull’ordine di integrazione. Questo calcolatore valuta ∭f(x,y,z) dV sui limiti che specifichi, supporta coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche, e mostra ogni passo dell’antiderivata.
Come calcolare un integrale triplo
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1
Inserisci f(x,y,z)
L'integrando. Notazione standard: x*y*z, x^2+y^2, sin(x)*cos(y).
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2
Scegli un sistema di coordinate
Cartesiano (dx dy dz), cilindrico (r dr dθ dz) o sferico (ρ² sin(φ) dρ dφ dθ).
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3
Imposta i limiti
Per ciascuna delle tre variabili — costanti o funzioni delle altre.
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4
Scegli l'ordine di integrazione
dzdydx, dxdydz, ecc. La scelta può semplificare notevolmente i calcoli.
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5
Vedi la valutazione passo dopo passo
Primo l'integrale interno, poi quello medio, infine quello esterno, con antiderivate a ciascuna fase.
A cosa servono i tre sistemi di coordinate
| Sistema | Elemento di volume | Migliore per |
|---|---|---|
| Cartesiano | dx dy dz | Scatole, prismi, regioni non simmetriche |
| Cilindrico | r dr dθ dz | Cilindri, coni, superfici di rivoluzione |
| Sferico | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Sfere, settori di sfere, problemi gravitazionali |
Usare il sistema sbagliato trasforma un integrale banale in un incubo. Una sfera di raggio 1 integrata in cartesiano ha limiti disordinati √(1 − x² − y²); in sferico, è ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ, pulito e separabile.
Problemi comuni
- Massa: ∭ρ(x,y,z) dV, dove ρ è la densità.
- Centro di massa: ∭x ρ dV / massa totale, analogamente per y e z.
- Momento d’inerzia: ∭r² ρ dV rispetto a un asse scelto.
- Volume: ∭1 dV — l’integrando è 1, riducendo al calcolo del volume della regione.
Cambiare l’ordine di integrazione
Per una regione in cui il limite interno non può essere espresso bene come funzione della variabile esterna, cambiare ordine spesso aiuta. Schizza la regione, proietta sul piano interno-esterno desiderato e ri-deriva i limiti.
Esempio risolto: volume di una sfera
In coordinate sferiche, la sfera unitaria {x²+y²+z² ≤ 1}:
V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
= ∫₀²π (2/3) dθ
= 4π/3
Il famoso V = (4/3)πr³ si ottiene in tre passaggi puliti — in cartesiano lo stesso integrale occupa più pagine.
Fallback numerico
Alcuni integrali non hanno antiderivata in forma chiusa. Quando l’integrazione simbolica fallisce, il calcolatore ricorre a quadratura numerica, restituendo un valore approssimato con una stima dell’errore.
Domande frequenti
Spesso i limiti erano sbagliati. I limiti degli integrali tripli possono dipendere dalle variabili interne, e un’errata ordinazione produce integrali matematicamente diversi. Schizza prima la regione, poi deriva i limiti con attenzione.
Il calcolatore passa a metodi numerici (quadratura adattativa). Ottieni una risposta numerica con un limite di errore piuttosto che un’espressione simbolica.
Sferico quando la regione ha simmetria 3D completa attorno a un punto (sfere, coni da un punto). Cilindrico quando c’è simmetria assiale (cilindri, superfici di rivoluzione attorno a un asse). Cartesiano quando non c’è nessuna delle due.
No. Tutti i calcoli vengono eseguiti nel tuo browser.