Calcolatore della radice quadrata
Inserisci un numero positivo e il calcolatore restituisce la sua radice quadrata in forma decimale fino a 15 cifre e, dove possibile, la sua forma radicale semplificata esatta — √72 diventa 6√2, √200 diventa 10√2. Per i quadrati perfetti ottieni un intero; per i negativi ottieni la notazione i con l’unità immaginaria estratta.
Come viene calcolata la radice
-
1
Inserisci il radicando
Il numero sotto il radicale. Positivo, negativo o zero.
-
2
Forma decimale
Calcolato tramite l'istruzione di radice quadrata IEEE 754 — preciso fino a 15 cifre significative.
-
3
Forma radicale semplificata
Fattorizza i divisori perfetti. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
-
4
Mostra il lavoro
La fattorizzazione passo-passo è visualizzata in modo da poterla riprodurre a mano.
Quadrati perfetti da conoscere
| n | n² | √(n²) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
| 5 | 25 | 5 |
| 10 | 100 | 10 |
| 11 | 121 | 11 |
| 12 | 144 | 12 |
| 13 | 169 | 13 |
| 14 | 196 | 14 |
| 15 | 225 | 15 |
| 16 | 256 | 16 |
| 25 | 625 | 25 |
Semplificare i non-quadrati perfetti
Il trucco è trovare il più grande fattore quadrato perfetto:
- √50 = √(25 × 2) = 5√2
- √72 = √(36 × 2) = 6√2
- √108 = √(36 × 3) = 6√3
- √500 = √(100 × 5) = 10√5
- √1000 = √(100 × 10) = 10√10
Se il risultato ha ancora un fattore non quadrato, ripeti: √180 = √(36 × 5) = 6√5, non √(4 × 45) = 2√45 (non completamente semplificato).
Valori decimali comuni
- √2 ≈ 1.41421 (Pitagora in un quadrato unitario)
- √3 ≈ 1.73205 (diagonale di un cubo)
- √5 ≈ 2.23607 (compare nel rapporto aureo (1+√5)/2)
- √7 ≈ 2.64575
- √π ≈ 1.77245 (usato in statistica, integrali gaussiani)
- √10 ≈ 3.16228
- √(1000) ≈ 31.6228 (ogni aumento di 10x aumenta √ di ~3.16x)
Numeri negativi e immaginari
La radice quadrata di un numero negativo non è definita nei numeri reali. Nei numeri complessi, √(−x) = i√x per x positivo. Quindi √(−4) = 2i. Il calcolatore riporta la forma immaginaria piuttosto che un decimale per gli input negativi.
Radice quadrata vs radice n
Il calcolatore gestisce le radici quadrate (2ª). Per le radici cubiche, le radici quarte, ecc., usa uno strumento generale per le radici n. Identità chiave:
- √(ab) = √a × √b (solo se a e b sono non negativi)
- √(a/b) = √a / √b (solo se b > 0)
- (√a)² = a (solo se a >= 0)
Riferimento storico
Il simbolo radicale √ è evoluto dalla lettera r (per radix, radice in latino) nel 1500. La barra orizzontale (il vinculum) è stata aggiunta nel XVII secolo per delimitare ciò che è sotto la radice.
Domande frequenti
Ogni numero positivo ha due radici quadrate: +x e −x. La radice principale (quella non negativa) è ciò a cui si riferisce solitamente √. Le equazioni quadratiche usano entrambe.
Solo 5, per convenzione. √ restituisce la radice principale (non negativa). Quando si risolve x² = 25, sia 5 che −5 soddisfano l’equazione, quindi scrivi x = ±5.
Metodi storici: algoritmo di divisione lunga cifra per cifra, metodo di Newton (iterativo: x_new = (x + a/x)/2), o fattorizzare e semplificare per le radici di numeri ricchi di quadrati perfetti. Il metodo di Newton converge rapidamente — tre iterazioni danno un’accuratezza di 10 cifre per la maggior parte degli input.
Provato dai Greci per contraddizione: se √2 = p/q in termini minimi, allora 2q² = p², rendendo p pari, quindi p = 2k, poi 2q² = 4k², dando q² = 2k², rendendo anche q pari — contraddicendo termini minimi. Quindi √2 non può essere una frazione; è irrazionale.
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