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Calcolatore di radice quadrata

Passaggio 1 / 4 Radice quadrata

Inserisci un numero qualsiasi. Per gli input non negativi, il calcolatore restituisce la radice quadrata principale in forma decimale; per gli interi positivi mostra anche una forma radicale semplificata quando possibile: √72 = 6√2 e √200 = 10√2. I quadrati perfetti restituiscono numeri interi. Gli input negativi vengono segnalati come complessi, e la guida sotto spiega come √(−x) diventa i√x.

Come viene calcolata la radice

  1. 1

    Inserisci il radicando

    Digita il numero sotto il segno di radice. Può essere positivo, negativo o zero.

  2. 2

    Leggi il risultato decimale

    Per gli input non negativi, il calcolatore restituisce la radice principale usando il normale calcolo in virgola mobile della radice quadrata.

  3. 3

    Controlla la forma radicale semplificata

    Per gli interi positivi, i fattori che sono quadrati perfetti vengono portati fuori dal radicale. √72 = √(36 × 2) = 6√2.

  4. 4

    Usa le note per verificare

    Gli esempi sotto mostrano il metodo dei fattori, valori decimali comuni e la differenza tra radici reali e complesse.

Quadrati perfetti utili

n n² √(n²)
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
5 25 5
10 100 10
11 121 11
12 144 12
13 169 13
14 196 14
15 225 15
16 256 16
25 625 25

Semplificare numeri che non sono quadrati perfetti

Per i numeri interi, cerca il più grande fattore che sia un quadrato perfetto:

  • √50 = √(25 × 2) = 5√2
  • √72 = √(36 × 2) = 6√2
  • √108 = √(36 × 3) = 6√3
  • √500 = √(100 × 5) = 10√5
  • √1000 = √(100 × 10) = 10√10

Se rimane un fattore che non è un quadrato, lascialo sotto il radicale. Per esempio, √180 = √(36 × 5) = 6√5, non √(4 × 45) = 2√45, perché 45 contiene ancora il fattore quadrato perfetto 9.

Valori decimali comuni e usi

  • √2 ≈ 1,41421 (geometria a scuola: la diagonale di un quadrato 1 × 1)
  • √3 ≈ 1,73205 (diagonale spaziale di un cubo unitario)
  • √5 ≈ 2,23607 (compare nel rapporto aureo (1+√5)/2)
  • √7 ≈ 2,64575
  • √π ≈ 1,77245 (statistica e integrali gaussiani)
  • √10 ≈ 3,16228
  • √(1000) ≈ 31,6228 (aumentare il numero di 10 volte moltiplica la radice per circa 3,16)

In edilizia o nelle misurazioni, le radici quadrate trasformano spesso un’area nella lunghezza di un lato: un patio quadrato di 49 m² ha lato √49 = 7 m, mentre uno spazio quadrato di 80 m² ha lato √80 = 4√5 m ≈ 8,94 m.

Numeri negativi e radici complesse

La radice quadrata di un numero negativo non è un numero reale. Nei numeri complessi, √(−x) = i√x per x positivo, quindi √(−4) = 2i. Il calcolatore online segnala gli input negativi come complessi invece di mostrare un decimale reale.

Radice quadrata e radice n-esima

Questo calcolatore gestisce radici quadrate, cioè radici di indice 2. Per radici cubiche, quarte radici e altri indici, usa uno strumento generale per la radice n-esima. Identità chiave:

  • √(ab) = √a × √b (solo se a e b sono non negativi)
  • √(a/b) = √a / √b (solo se b > 0)
  • (√a)² = a (solo se a >= 0)

Nota storica

Il simbolo radicale √ si è evoluto dalla lettera r, da radix, radice in latino, nel XVI secolo. La barra orizzontale, detta vinculum, fu aggiunta nel XVII secolo per indicare con precisione ciò che sta sotto la radice.

Domande frequenti

Ogni numero positivo ha due radici quadrate: +r e −r. Il simbolo radicale √ restituisce la radice principale, quella non negativa. Quando risolvi equazioni quadratiche, di solito consideri entrambe le radici.

Per convenzione, solo 5. √ restituisce la radice principale. Quando risolvi x² = 25, sia 5 sia −5 soddisfano l’equazione, quindi scrivi x = ±5.

I metodi comuni includono estrarre i quadrati perfetti dal radicale, l’algoritmo di divisione lunga cifra per cifra e il metodo di Newton: x_new = (x + a/x)/2. Il metodo di Newton converge rapidamente; poche iterazioni di solito bastano per un controllo in classe.

Una dimostrazione classica usa la contraddizione. Se √2 = p/q in forma ridotta ai minimi termini, allora 2q² = p², quindi p è pari. Scrivendo p = 2k si ottiene q² = 2k², dunque anche q è pari. Questo contraddice l’ipotesi che p/q fosse ai minimi termini, quindi √2 non può essere una frazione.

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