Calcolatore RREF

Che cosa significa forma a scala ridotta per righe

Una matrice è in forma a scala ridotta per righe quando ogni riga non nulla ha un 1 iniziale, l’1 iniziale di ogni riga si trova più a destra rispetto a quello della riga precedente, tutti gli altri elementi di una colonna pivot sono zero e le eventuali righe nulle sono in fondo. Gli 1 iniziali sono i pivot.

La RREF mette in evidenza in modo univoco la struttura numerica di una matrice. Le colonne che contengono i pivot sono le colonne pivot; le rimanenti sono colonne libere. Il rango è il numero di pivot. Per una matrice con n colonne, la nullità indicata qui è n meno il rango e coincide con il numero di colonne libere.

Lo strumento numera le colonne a partire da 1. Se riporta le colonne pivot 1 e 3, intende la prima e la terza colonna della matrice inserita.

Operazioni sulle righe visualizzate

Il calcolatore usa i tre tipi standard di operazione elementare sulle righe:

• Scambiare due righe.
• Moltiplicare una riga per un numero diverso da zero.
• Sostituire una riga con se stessa meno un multiplo di un’altra riga.

Per ogni colonna pivot sceglie, tra le righe ancora disponibili, quella con il candidato pivot di valore assoluto maggiore. Questo pivoting parziale è una precauzione numerica che evita di dividere per un valore più piccolo quando ne è disponibile uno maggiore. La riga scelta viene spostata in posizione, il pivot viene portato a 1 e gli elementi sopra e sotto di esso vengono annullati. L’elenco mostra la matrice ottenuta dopo ogni operazione.

Sequenze diverse di operazioni valide possono avere passaggi intermedi differenti. La forma a scala ridotta finale è la stessa, salvo piccoli effetti dovuti all’aritmetica a precisione finita.

Esempio numerico svolto

Per la matrice predefinita

la forma a scala ridotta per righe è

I pivot sono due e si trovano nelle colonne 1 e 3, quindi il rango è 2. La colonna 2 è libera e la nullità vale 3 - 2 = 1. Il calcolatore mostra la sequenza di operazioni effettivamente eseguita, non soltanto la matrice finale.

Rango, nullità, colonne pivot e colonne libere

Il rango conta le posizioni pivot nella matrice ridotta. Descrive la dimensione dello spazio delle colonne ed equivale anche al numero di righe non nulle nella RREF.

La nullità è la dimensione del nucleo della matrice. Per una matrice m × n di rango r vale la relazione rango-nullità:

rango + nullità = numero di colonne, cioè r + nullità = n.

Il calcolatore ricava questi valori direttamente dalla riduzione numerica. Se non ci sono colonne libere, la nullità è zero. Una matrice rettangolare larga può avere più colonne libere; una matrice con righe dipendenti o nulle può avere rango inferiore al numero di righe.

Regole di inserimento e tolleranza numerica

Inserisci una riga per linea. In italiano puoi separare i valori con spazi, punti e virgola o barre verticali. Non usare la virgola come separatore tra valori, perché viene interpretata come segno decimale. Le righe vuote vengono ignorate, ma tutte le righe non vuote devono avere la stessa lunghezza. Sono ammessi interi, decimali e notazione scientifica come 2,5e-3. Ogni valore deve essere finito e compreso tra -1.000.000 e 1.000.000.

Il calcolo usa numeri in virgola mobile. Durante la riduzione, i valori con modulo inferiore a 1e-10 sono considerati zero. Questa tolleranza impedisce che piccoli residui di arrotondamento appaiano come falsi pivot, ma le matrici quasi singolari vanno controllate con la precisione richiesta dal corso o dall’applicazione.

Che cosa non fa questo calcolatore

È un riduttore di matrici numeriche, non un sistema di algebra simbolica. Non accetta variabili, frazioni scritte come espressioni, radicali o formule. Non calcola determinante o inversa e non produce una soluzione parametrica, non converte le righe in equazioni e non stabilisce la compatibilità di un sistema descritto separatamente.

Puoi inserire i numeri di una matrice aumentata per esaminarne la riduzione, ma lo strumento tratta tutte le colonne come parti di un’unica matrice. Non riconosce il confine dell’aumento né interpreta l’ultima colonna come termine noto. Usa la RREF e le informazioni sulle colonne come risultati matriciali, quindi applica le convenzioni richieste dal tuo problema di algebra lineare.