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Calcolatore della distribuzione normale

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Fornisci al calcolatore una media, una deviazione standard e un valore grezzo oppure una probabilità: restituirà il punteggio z, l’area sotto la curva (probabilità cumulata) e il percentile corrispondente. Gestisce probabilità a coda sinistra, a coda destra e a due code, cioè tutto ciò che serve di solito a un esercizio di statistica del primo anno o a un rapporto di controllo qualità.

Come calcolare le probabilità della distribuzione normale

  1. 1

    Inserisci media e deviazione standard

    Per la normale standard usa media 0 e deviazione standard 1. Per il QI usa media 100 e deviazione standard 15.

  2. 2

    Scegli il tipo di problema

    P(X < x), P(X > x), P(a < X < b), oppure ricava x data una probabilità.

  3. 3

    Inserisci il valore o la probabilità

    Un numero grezzo della distribuzione oppure una probabilità di coda come 0,05.

  4. 4

    Leggi punteggio z e probabilità

    Lo strumento mostra il punteggio z, la probabilità cumulata e il percentile.

Le formule

Il punteggio z standardizza qualsiasi valore:

z = (x − μ) / σ

La funzione di ripartizione Φ(z) fornisce la probabilità che una variabile normale standard sia inferiore a z. Poiché Φ non ha forma chiusa, i calcolatori usano approssimazioni numeriche (la più comune è il polinomio razionale di Abramowitz e Stegun, preciso fino a sette decimali).

Regola empirica (68-95-99,7)

Intervallo Probabilità
μ ± 1σ 68,27%
μ ± 2σ 95,45%
μ ± 3σ 99,73%
μ ± 1,96σ (intervallo di confidenza classico al 95%) 95,00%
μ ± 2,576σ (intervallo di confidenza al 99%) 99,00%

Valori critici di z più comuni

  • Unilaterale, α = 0,05: z = 1,645
  • Bilaterale, α = 0,05: z = ±1,96
  • Bilaterale, α = 0,01: z = ±2,576
  • Bilaterale, α = 0,001: z = ±3,291

Consigli rapidi di interpretazione

  • Uno z positivo indica un valore sopra la media; uno z negativo, sotto la media.
  • |z| > 2 è già territorio raro: circa il 5% della distribuzione.
  • |z| > 3 è molto raro, circa lo 0,3%, e viene spesso usato come soglia per i valori anomali nella produzione industriale.
  • Il percentile è Φ(z) × 100. Uno z pari a 1,0 corrisponde all’84° percentile.

Dove si incontra

L’assegnazione dei punteggi nei test standardizzati (SAT, QI), il controllo qualità (six sigma), i modelli di rischio finanziario (il VaR presuppone la normalità, spesso a torto) e innumerevoli test di ipotesi nelle scienze sperimentali si basano tutti sulle probabilità della distribuzione normale.

Domande frequenti

Per il teorema del limite centrale. Somme e medie di molte variabili casuali indipendenti tendono a una distribuzione normale, qualunque sia la distribuzione di partenza. Per questo la normale è una buona approssimazione delle medie campionarie di molti processi reali.

Raramente in modo esatto, spesso in modo approssimato. Statura, errori di misura e punteggi del QI sono vicini alla normale. Rendimenti finanziari, tempi di attesa e molti conteggi naturali non lo sono: hanno code più pesanti oppure sono asimmetrici. Traccia sempre un grafico prima di dare qualcosa per scontato.

È “quante deviazioni standard dista questo valore dalla media”. Uno z di +2 significa “due deviazioni standard sopra la media”, il che colloca il valore intorno al 97,7° percentile se la distribuzione è normale.

Il calcolatore usa un’approssimazione numerica precisa fino a circa sette decimali per |z| < 6. Oltre quel punto le probabilità sono così piccole che i numeri in virgola mobile a doppia precisione esauriscono la precisione disponibile; per lavorare nelle code estreme usa software a precisione arbitraria.

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