Calcolatore di integrali
Inserisci un’espressione in x (o qualsiasi variabile) e il calcolatore restituisce un’antiderivata simbolica o un valore numerico su un intervallo dato. Gestisce polinomi, funzioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche e razionali, insieme a sostituzioni comuni e integrazione per parti — con i passaggi mostrati se hai bisogno di controllare il tuo lavoro.
Come valutare un integrale
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1
Digita l'integrando
Scrivi la funzione come `x^2 + 3*sin(x)` o `1 / (x^2 + 1)`. La moltiplicazione implicita con spazi è accettata.
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2
Scegli definito o indefinito
Per un integrale definito, imposta i limiti inferiori e superiori (supporta `inf` e `-inf`).
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3
Calcola
Il tool tenta prima una soluzione simbolica; se fallisce, ricorre alla quadratura numerica.
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4
Leggi i passaggi
L'espansione passo-passo opzionale mostra la sostituzione, l'integrazione per parti o la decomposizione in frazioni parziali.
Antiderivate comuni
| f(x) | Integrale |
|---|---|
| x^n (n != -1) | x^(n+1) / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| e^x | e^x + C |
| sin(x) | -cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| sec^2(x) | tan(x) + C |
| 1 / (x^2 + 1) | arctan(x) + C |
| 1 / sqrt(1 - x^2) | arcsin(x) + C |
Tecniche che il tool prova, in ordine
- Regole di base — potenza, esponenziale, trig.
- Sostituzione (u-sub) — riconoscere una funzione e la sua derivata nell’integrando.
- Integrazione per parti —
∫u dv = uv - ∫v du, per prodotti di diversi tipi di funzioni. - Frazioni parziali — per integrandi razionali
P(x)/Q(x)condeg(P) < deg(Q). - Identità trigonometriche — per prodotti di seni e coseni.
- Quadratura numerica — Gauss-Kronrod per integrali definiti quando non esiste una forma chiusa.
Notazione dell’integrale definito
∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
Il teorema fondamentale dice: se F è un’antiderivata di f, l’integrale definito da a a b è uguale a F(b) - F(a). Il tool calcola prima F, poi valuta ai limiti.
Errori comuni
- Dimenticare il
+ C. Ogni integrale indefinito ha una costante di integrazione. Il tool la stampa; gli studenti che scrivono a mano spesso dimenticano. - Limiti errati sugli integrali impropri.
∫_0^∞ e^(-x) dx = 1, ma∫_(-∞)^∞ e^(-x^2) dx = sqrt(π). Controlla sempre la convergenza. - Usare arctan invece di arctanh quando il denominatore si fattorizza come
(x-a)(x-b)con radici reali — quello è un logaritmo, non un arctan. - Dimenticare la regola della catena nella sostituzione u. Se
u = 3x, alloradu = 3 dx, nondu = dx.
Quando non esiste una forma chiusa
Alcuni integrali semplicemente non hanno un’antiderivata elementare — e^(-x^2), sin(x)/x, 1/ln(x). Su un intervallo specifico hanno comunque un valore numerico, che il tool calcola con alta precisione.
Domande frequenti
Per un integrale definito, il tool ricorre alla quadratura numerica (Gauss-Kronrod) e restituisce un valore con una stima dell’errore. Per un integrale indefinito senza un’antiderivata elementare, lo riporta e offre un’espansione in serie come alternativa.
Sì. Avvolgi l’espressione per chiarire la variabile, ad esempio integrate(t^2, t). Qualsiasi variabile di una lettera funziona.
Sì. Attiva “mostra passaggi” e il tool stampa la sostituzione, la scelta per parti o la decomposizione in frazioni parziali che ha usato, una riga alla volta.
Sì, ma potresti dover suddividere l’intervallo nei punti di attraversamento dello zero per una risposta pulita. Il tool gestisce \|x\| rilevando automaticamente i segni quando possibile.