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Calcolatore di autovalori

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Usa questo calcolatore di autovalori per risolvere una matrice reale 2×2 a partire dai suoi quattro elementi. Lo strumento calcola traccia, determinante, polinomio caratteristico, discriminante e autovalori, poi mostra gli autovettori reali quando i due autovalori sono distinti e reali. È pensato per gli esercizi di algebra lineare, per i controlli rapidi nei modelli ingegneristici e per verificare i conti prima di diagonalizzare a mano una matrice piccola.

Come trovare gli autovalori

  1. 1

    Inserisci gli elementi della matrice

    Compila a, b, c e d per la matrice A = [[a, b], [c, d]]. Sono ammessi decimali e valori negativi.

  2. 2

    Costruisci l'equazione caratteristica

    Il calcolatore usa la traccia T = a + d e il determinante D = ad - bc per scrivere λ² - Tλ + D = 0.

  3. 3

    Classifica le radici

    Il discriminante T² - 4D stabilisce se gli autovalori sono due valori reali, un valore doppio o una coppia di complessi coniugati.

Formula per una matrice 2×2

Per A = [[a, b], [c, d]], gli autovalori sono le radici di:

det(A - λI) = 0

Sviluppando quel determinante si ottiene:

λ² - Tλ + D = 0

Dove:

  • T = a + d è la traccia.
  • D = ad - bc è il determinante.
  • Δ = T² - 4D è il discriminante.

Quindi:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Esempio svolto

Per A = [[2, 1], [1, 2]], la traccia è T = 2 + 2 = 4 e il determinante è D = 2·2 - 1·1 = 3. Il polinomio caratteristico è:

λ² - 4λ + 3 = 0

Il discriminante vale Δ = 4² - 4·3 = 4, quindi gli autovalori sono:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Per l’autovalore 3, un autovettore è [1, 1]. Per l’autovalore 1, un autovettore è [1, -1]. Anche qualsiasi multiplo scalare non nullo di quei vettori è un autovettore valido.

Che cosa indica il discriminante

Discriminante Δ Caso degli autovalori Che cosa aspettarsi
Δ > 0 Due autovalori reali Due radici reali distinte e, per una matrice 2×2, due autovettori indipendenti quando la matrice è diagonalizzabile sui reali.
Δ = 0 Autovalore doppio Una radice doppia. L’autospazio può avere dimensione 1 o 2: se ti serve la diagonalizzazione, controlla gli autovettori a parte.
Δ < 0 Coppia di complessi coniugati Nessun autovalore reale. Le radici hanno la stessa parte reale e parti immaginarie opposte.

Errori comuni

  • Scrivere male A - λI. Cambiano solo gli elementi della diagonale: a - λ e d - λ.
  • Dimenticare il segno del determinante. Per una matrice 2×2 vale D = ad - bc, non ad + bc.
  • Dare per diagonalizzabile un autovalore doppio. Una radice doppia richiede comunque abbastanza autovettori indipendenti.
  • Arrotondare troppo presto. Mantieni traccia, determinante e discriminante esatti il più a lungo possibile, soprattutto con i decimali.

Domande frequenti

Lo strumento si concentra sulle matrici reali 2×2. Così il risultato resta trasparente: ogni valore deriva da traccia, determinante e polinomio caratteristico di secondo grado.

Sì. Se il discriminante T² - 4D è negativo, gli autovalori formano una coppia di complessi coniugati. Una matrice di rotazione come [[0, -1], [1, 0]] è l’esempio classico.

Il calcolatore mostra gli autovettori quando gli autovalori reali sono distinti, perché in quel caso si può indicare un semplice vettore reale per ogni radice. I casi doppi e complessi richiedono un contesto in più, quindi lì lo strumento si concentra sugli autovalori e sulla loro classificazione.

Non è previsto alcun caricamento di file. Gli elementi vengono elaborati dal componente della pagina per produrre traccia, determinante, polinomio e autovalori.

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