Risolutore di Equazioni Cubiche
Un’equazione cubica ha la forma generale ax³ + bx² + cx + d = 0 e ha sempre tre radici nei numeri complessi. Inserisci i quattro coefficienti e il risolutore le restituisce utilizzando la formula di Cardano: tre radici reali quando il discriminante è non positivo, una radice reale più una coppia di coniugati complessi quando il discriminante è positivo, e una configurazione di radice doppia quando il discriminante è uguale a zero.
Come il risolutore trova le radici
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1
Inserisci i coefficienti
Quattro numeri: a, b, c, d. Il coefficiente principale a deve essere diverso da zero, altrimenti l'equazione è quadratica, non cubica.
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2
Cubica depressa
Il risolutore sposta l'equazione di -b/(3a) per eliminare il termine quadratico, producendo la forma `t³ + pt + q = 0`.
-
3
Controllo del discriminante
Δ = (q/2)² + (p/3)³ decide il percorso: Δ > 0 dà una radice reale, Δ = 0 dà una radice doppia, Δ < 0 dà tre radici reali tramite trigonometria.
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4
Ritorno indietro
Ogni radice trovata nello spazio t viene spostata di -b/(3a) per recuperare x. Il risolutore le restituisce in ordine decrescente dove applicabile.
Casi del discriminante e cosa significano
Il metodo di Cardano si dirama attraverso uno dei tre rami a seconda del segno del discriminante Δ = (q/2)² + (p/3)³. La geometria del grafico cubico rispecchia esattamente questo.
Tabella dei casi
| Discriminante | Radici | Forma del grafico |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 1 reale, 2 coniugati complessi | Interseca l’asse x una volta |
| Δ = 0 | 3 reali, almeno due uguali | Tocca l’asse x in una radice doppia |
| Δ < 0 | 3 radici reali distinte | Interseca l’asse x tre volte |
Esempio risolto
Per x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (coefficienti 1, −6, 11, −6):
- Spostamento di −b/(3a) = 2 per ottenere la forma depressa: p = −1, q = 0.
- Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, quindi seguiamo il percorso delle tre radici reali (trigonometrico).
- La formula trigonometrica dà le tre radici reali distinte x = 1, 2, 3.
Considerazioni numeriche
- Errore di punto mobile si insinua quando le tre radici sono vicine (una radice quasi tripla). Le radici visualizzate possono differire negli ultimi decimali dai valori esatti.
- Coefficiente a molto piccolo rende b/(3a) grande, il che domina l’aritmetica e riduce la precisione. Se
|a|è sotto circa 1e-12, risolvi come un’equazione quadratica invece. - Coefficienti interi danno l’output più pulito: le radici razionali appariranno ai loro valori esatti fino all’arrotondamento in virgola mobile.
Equazioni correlate
- Quadratica:
ax² + bx + c = 0. Usa il Risolutore di Equazioni Quadratiche, forma chiusa e più semplice. - Quartica:
ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Il metodo di Ferrari si riduce a un cubico risolvente; non trattato qui. - Cubica depressa: imposta b = 0 per saltare lo spostamento e inserisci direttamente
x³ + px + q = 0.
Domande frequenti
L’equazione non è più cubica. Il risolutore rifiuta di procedere in quel caso, passa al Risolutore di Equazioni Quadratiche per bx² + cx + d = 0.
Il risolutore restituisce la singola radice reale in quel caso. Le altre due radici sono una coppia di coniugati complessi che la formula di Cardano fornisce in forma chiusa; calcolale come -x1/2 ± (√3/2) × i × modulo se hai bisogno di esse per una risposta simbolica.
Le implementazioni numeriche del metodo di Cardano possono produrre residui dell’ordine di 1e-15 a causa dell’arrotondamento in virgola mobile. Tratta qualsiasi cosa sotto 1e-10 come reale; questo risolutore già filtra quei residui per il ramo Δ < 0.
I quattro coefficienti vengono inviati al server solo per calcolare le radici e non vengono memorizzati. Se usi la vista passo dopo passo, i coefficienti compaiono anche nel link della pagina.
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