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Calcolatore del prodotto vettoriale

Passaggio 1 / 3 Prodotto vettoriale (A × B)
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Il prodotto vettoriale di due vettori 3D restituisce un terzo vettore perpendicolare a entrambi. La sua lunghezza è uguale all’area del parallelogramma generato dai due vettori, e la sua direzione segue la regola della mano destra. Questo lo rende essenziale per le normali di superficie nella grafica 3D, per il momento torcente e il momento angolare in fisica e per qualsiasi geometria che richieda una direzione perpendicolare. Inserisci le componenti dei vettori A e B e questo strumento ti restituisce A × B come (x, y, z) insieme al suo modulo, con il risultato che si aggiorna mentre digiti.

Come calcolare un prodotto vettoriale

  1. 1

    Inserisci il vettore A

    Digita le tre componenti ax, ay e az del primo vettore.

  2. 2

    Inserisci il vettore B

    Digita le tre componenti bx, by e bz del secondo vettore.

  3. 3

    Leggi il risultato

    Il vettore perpendicolare A × B viene mostrato come (x, y, z), insieme al suo modulo.

La formula

Per i vettori A = (ax, ay, az) e B = (bx, by, bz), il prodotto vettoriale è:

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

Ogni componente è un determinante 2×2 degli altri due assi, con il segno del termine centrale invertito. Un comodo aiuto mnemonico è lo sviluppo del determinante lungo i versori i, j, k.

Esempio risolto

Prendiamo A = (1, 2, 3) e B = (4, 5, 6):

  • x: ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
  • y: az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
  • z: ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

Quindi A × B = (−3, 6, −3). Il suo modulo è √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7,348. Puoi verificare che il risultato è perpendicolare: A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0. ✓

Proprietà principali

Proprietà Enunciato
Anticommutativa A × B = −(B × A)
Vettori paralleli A × A = 0 (qualsiasi coppia parallela dà 0)
Modulo |A × B| = |A| · |B| · sin(θ)
Perpendicolarità (A × B) ⊥ A e (A × B) ⊥ B
Direzione Regola della mano destra da A verso B

Errori comuni

  • L’ordine conta. Scambiare i vettori inverte il segno di ogni componente, perché il prodotto vettoriale è anticommutativo.
  • Il prodotto vettoriale esiste solo in 3D. A differenza del prodotto scalare, A × B è definito per vettori tridimensionali (esiste un analogo in 7D, ma è raramente usato). Per i vettori 2D, completa la z mancante con 0.
  • Il segno del termine centrale. La componente y è az·bx − ax·bz, non ax·bz − az·bx: il termine j viene sottratto nello sviluppo del determinante, ed è proprio qui che si commette la maggior parte degli errori a mano.
  • I vettori paralleli danno zero. Se A e B puntano nella stessa direzione (θ = 0) il risultato è il vettore nullo, poiché sin(0) = 0.

Domande frequenti

Il prodotto scalare restituisce un singolo numero (uno scalare) e misura quanto due vettori sono paralleli. Il prodotto vettoriale restituisce un vettore perpendicolare a entrambi e misura quanto sono perpendicolari. Rispondono a domande opposte.

Non direttamente: il prodotto vettoriale è definito per vettori 3D. Per due vettori 2D puoi impostare la componente z a 0; il risultato ha allora solo una componente z pari ad ax·by − ay·bx, spesso chiamata «prodotto vettoriale 2D» o area con segno.

Il modulo è uguale all’area del parallelogramma generato dai due vettori ed è anche |A| · |B| · sin(θ), dove θ è l’angolo tra di essi. La metà di tale valore è l’area del triangolo formato da A e B.

No. Le componenti vengono inviate al server solo per eseguire il calcolo e non vengono mai salvate in un database né conservate dopo la chiusura della pagina.

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