Calcolatore di Covarianza
La covarianza misura come due variabili variano insieme. Una covarianza positiva significa che tendono a muoversi nella stessa direzione, negativa significa che si muovono in direzioni opposte, e zero significa nessuna relazione lineare. A differenza della correlazione, la covarianza è nelle unità originali al quadrato, quindi la sua grandezza è difficile da interpretare senza contesto. Questo calcolatore restituisce sia la covarianza campionaria (dividendo per n-1) che la covarianza della popolazione (dividendo per n).
Come calcolare la covarianza
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1
Incolla i dati abbinati X/Y
Un X e un Y per riga. Separati da virgole, tabulazioni o spazi. Stesso numero in ogni colonna.
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2
Vengono mostrate entrambe le versioni
Il calcolatore mostra sempre entrambe: la covarianza campionaria (dividendo per n-1) e quella della popolazione (dividendo per n).
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3
Esegui il calcolo
Il calcolatore calcola le medie, le deviazioni incrociate e divide per n o n-1.
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4
Leggi il risultato
Leggi i due valori di covarianza. Un valore positivo significa che le variabili tendono a muoversi insieme; uno negativo, che si muovono in direzioni opposte.
Formule
Covarianza campionaria: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / (n - 1)
Covarianza della popolazione: cov(X, Y) = Σ((xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)) / n
Il divisore n - 1 (correzione di Bessel) rende la covarianza campionaria un estimatore non distorto della covarianza della popolazione. I software statistici di default usano la versione campionaria.
Il segno è ciò che conta
| Segno | Significato |
|---|---|
| Positivo | X e Y tendono a essere sopra/sotto le loro medie insieme |
| Negativo | X sopra la media tende a essere abbinato a Y sotto la media |
| Zero | Nessun modello lineare (potrebbe comunque essere non lineare) |
La grandezza dipende dalle unità: cov(altezza_cm, peso_kg) per gli adulti è circa +70, ma cambiando l’altezza in metri scende a +0,7: stessa relazione, numero diverso. Questo è il motivo per cui la correlazione è riportata più comunemente.
Covarianza vs. correlazione
correlazione = covarianza / (σ_X × σ_Y)
La correlazione è la versione senza unità, sempre in [-1, +1], comparabile tra set di dati. La covarianza è principalmente utile all’interno di formule (varianza del portafoglio, regressione, PCA) piuttosto che come statistica riassuntiva.
Dove la covarianza è usata direttamente
- Teoria del portafoglio: varianza del portafoglio = Σ wᵢ wⱼ cov(rᵢ, rⱼ). Hai bisogno della covarianza, non della correlazione, perché i pesi e le varianze contano.
- Regressione lineare: la stima della pendenza β = cov(X, Y) / var(X).
- Analisi delle componenti principali (PCA): la matrice di covarianza è quella che viene diagonalizzata.
- Elaborazione del segnale: la covarianza incrociata misura la somiglianza tra segnali a diversi ritardi.
Errori comuni
- Mescolare n e n-1: la covarianza campionaria e della popolazione possono differire di qualche percento su piccoli set di dati e causare problemi di riproducibilità. Decidi quale ti serve e dichiaralo.
- Interpretare la grandezza: una covarianza di 50 non è “grande” da sola; dipende interamente dalle unità e dalla varianza di X e Y.
- Assumere che la covarianza zero = indipendenza: la covarianza zero significa nessuna relazione lineare. Due variabili possono avere covarianza 0 e comunque essere perfettamente prevedibili non linearmente (ad esempio, Y = X² su X simmetrico).
Domande frequenti
Campionaria (dividi per n-1) quando i tuoi dati sono un campione di una popolazione più grande, il caso normale nella ricerca. Della popolazione (dividi per n) solo quando il tuo set di dati contiene letteralmente ogni possibile osservazione. Di default usa campionaria a meno che tu non sia sicuro.
Perché la covarianza è espressa nel prodotto delle due unità. Se X è in euro e Y in pezzi, la covarianza è in euro-pezzi. Converti in correlazione (dividi per σ_X × σ_Y) se vuoi un numero senza unità.
No. |cov(X, Y)| ≤ σ_X × σ_Y (Cauchy-Schwarz). L’uguaglianza si verifica solo quando Y è una funzione lineare perfetta di X. Se il tuo calcolatore mostra una covarianza maggiore, c’è un bug.
Non necessariamente. La covarianza zero significa nessuna relazione lineare. La funzione Y = sin(X) su [0, 2π] ha covarianza 0 con X ma è perfettamente determinata. Solo per variabili con distribuzione normale congiunta la covarianza zero implica indipendenza.
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