Calcolatrice di numeri complessi

Le quattro operazioni

Per z₁ = a + bi e z₂ = c + di, l’aritmetica deriva direttamente dal trattare i come un simbolo con i² = −1:

• Somma: (a + c) + (b + d)i
• Differenza: (a − c) + (b − d)i
• Prodotto: (ac − bd) + (ad + bc)i
• Quoziente: moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato di z₂: [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

La divisione è definita solo quando il denominatore c² + d² è diverso da zero, cioè ogni volta che z₂ non è 0 + 0i.

Modulo e argomento di z₁

Il modulo è la distanza dall’origine al punto (a, b) nel piano complesso: |z₁| = √(a² + b²). L’argomento è l’angolo che z₁ forma con il semiasse reale positivo, calcolato con l’arcotangente a due argomenti arg(z₁) = atan2(b, a) e mostrato qui in gradi, nell’intervallo da −180° a 180°.

Esempio svolto

Siano z₁ = 3 + 2i e z₂ = 1 + 4i.

Errori da evitare

• Dimenticare che i² = −1. Nella moltiplicazione, il termine bd·i² cambia segno e si unisce alla parte reale; per questo la parte reale del prodotto è ac − bd, non ac + bd.
• Dividere senza il coniugato. Non puoi separare (a + bi)/(c + di) termine per termine; moltiplica prima per (c − di)/(c − di).
• Mescolare gradi e radianti. Qui l’argomento è in gradi; molti linguaggi di programmazione restituiscono radianti da atan2. Moltiplica per 180/π per convertire.
• Errori di quadrante. Usa atan2, non il semplice arctan(b/a), altrimenti l’angolo dei punti con parte reale negativa finisce nel quadrante sbagliato.