Calcolatore del completamento del quadrato
Data una quadratica ax²+bx+c, completare il quadrato la riscrive come a(x-h)²+k, rivelando direttamente il vertice della parabola (h, k). Inserisci a, b e c e il calcolatore restituisce la forma del vertice a(x − h)² + k insieme alle coordinate del vertice (h, k). Utile per calcolo, fisica (moto dei proiettili), problemi di ottimizzazione e compiti di algebra.
Come funziona il completamento del quadrato
-
1
Inserisci i coefficienti a, b, c
La quadratica ax² + bx + c. Inserisci decimali; una frazione come 1/2 si scrive 0,5.
-
2
Fattorizza a dai termini x² e x
a(x² + (b/a)x) + c, separa la costante dai termini x.
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3
Aggiungi e sottrai (b/(2a))²
Crea un quadrato perfetto: a(x² + (b/a)x + (b/(2a))²) − a(b/(2a))² + c.
-
4
Riduci alla forma del vertice
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) = a(x − h)² + k, dove h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a).
Esempio pratico: 2x² + 8x + 5
Passo 1, fattorizza a = 2 dai termini x: 2(x² + 4x) + 5
Passo 2, la metà di 4 è 2, al quadrato è 4. Aggiungi e sottrai 4 all’interno: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5
Passo 3, dividi in quadrato perfetto e residuo: 2((x + 2)² − 4) + 5
Passo 4, distribuisci 2: 2(x + 2)² − 8 + 5
Passo 5, semplifica la costante: 2(x + 2)² − 3
Forma del vertice: a = 2, h = −2, k = −3 → vertice a (−2, −3).
La formula generale
Per ax² + bx + c:
- h = −b / (2a)
- k = c − b² / (4a)
- Forma del vertice: a(x − h)² + k
Perché completare il quadrato?
- Trova il vertice istantaneamente per il disegno della parabola.
- Risolvi equazioni quadratiche senza la formula quadratica, particolarmente utile per radici irrazionali.
- Deriva la formula quadratica stessa: completare il quadrato su ax² + bx + c = 0 produce x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Calcolo: trovare gli estremi delle quadratiche senza derivare.
- Movimento proiettile: l’altezza massima di una palla lanciata verso l’alto è il k nella forma del vertice della sua equazione di altezza.
- Cerchi e sezioni coniche: completare il quadrato su entrambi i termini x e y converte x² + y² + Dx + Ey + F = 0 in (x−h)² + (y−k)² = r², rendendo ovvi centro e raggio.
Geometria della parabola dalla forma del vertice
- Vertice: (h, k).
- Asse di simmetria: x = h.
- Si apre verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0.
- Valore massimo o minimo della funzione: k.
- Larghezza: più stretta per |a| > 1, più larga per |a| < 1.
- Radici (se reali): x = h ± √(−k/a). Reale solo quando k/a ≤ 0.
Errori comuni
- Dimenticare di distribuire a dopo aver completato il quadrato all’interno delle parentesi. Il termine di correzione cambia.
- Errori di segno su b/(2a): h = −b/(2a), non +b/(2a).
- Non dimezzare il coefficiente centrale prima di elevare al quadrato. “Metà di b su a, poi elevato al quadrato” è la frase canonica.
- Lasciare a ≠ 1 sepolto: fattorizzalo sempre prima per semplificare.
Caso speciale: a = 1
Quando a = 1, il processo si semplifica:
- x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
- h = −b/2, k = c − b²/4
k negativo significa radici reali
Se k ha il segno opposto di a, la parabola attraversa l’asse x. Risolvi a(x − h)² = −k per trovarle.
Domande frequenti
Completare il quadrato espone direttamente il vertice (forma del grafico), mentre la formula quadratica fornisce le radici. Entrambi hanno i loro usi: radici quando vuoi sapere dove y = 0, forma del vertice quando vuoi la forma, il massimo, il minimo o l’asse di simmetria.
Inserisci i coefficienti come decimali; le frazioni come 1/2 o 3/4 si digitano come 0,5 o 0,75. I risultati sono calcolati con la precisione in virgola mobile tipica di una calcolatrice.
Questa versione gestisce quadratiche in una sola variabile. Per sezioni coniche (cerchi, ellissi) in x e y, completa il quadrato in ciascuna variabile separatamente, il processo è identico, applicato due volte.
La forma del vertice funziona comunque; la parabola semplicemente non attraversa l’asse x, quindi non ci sono radici reali. Il calcolatore continua a restituire la forma del vertice e le coordinate del vertice.
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