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Calcolatore di Combinazioni

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C(n, k), leggi “n scegli k”, conta il numero di modi per scegliere k elementi da n quando l’ordine non conta. Scegli 3 condimenti da 10 → C(10, 3) = 120. Distribuisci mani di 5 carte da 52 → C(52, 5) = 2.598.960. Il calcolatore accetta n fino a 170, restituisce il risultato intero esatto con aritmetica a precisione arbitraria (nessun arrotondamento in notazione scientifica) e mostra anche il numero di permutazioni P(n, k).

Come vengono calcolate le combinazioni

  1. 1

    Inserisci n e k

    Entrambi interi non negativi con k ≤ n. n è la dimensione del pool; k è la dimensione della selezione. I valori sopra 170 vengono limitati.

  2. 2

    Formula applicata

    C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Lo strumento calcola anche P(n, k), il numero di selezioni ordinate.

  3. 3

    Output intero esatto

    Il calcolo usa aritmetica intera esatta, quindi i risultati non perdono mai cifre, nemmeno per valori come C(170, 85).

  4. 4

    Entrambi i risultati mostrati

    Combinazioni C(n, k) e permutazioni P(n, k) sono mostrate insieme; P(n, k) = C(n, k) × k!.

La formula

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Equivalente: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

Esempi risolti

  • C(10, 3) = 120: modi per scegliere 3 condimenti da 10.
  • C(52, 5) = 2.598.960: mani di poker da un mazzo standard.
  • C(49, 6) = 13.983.816: combinazioni del sorteggio principale della Lotteria Nazionale del Regno Unito.
  • C(70, 5) × 25 = 302.575.350: combinazioni del jackpot Mega Millions (5 palline principali da 70 + 1 pallina Mega da 25).
  • C(100, 50) ≈ 1.01 × 10²⁹: sottoinsiemi di metà di un insieme di 100 elementi.

Combinazioni vs permutazioni

  • Combinazione C(n, k): l’ordine non conta. Scegliere {A, B, C} è lo stesso di {C, B, A}.
  • Permutazione P(n, k): l’ordine conta. {A, B, C} è diverso da {C, B, A}.
  • Relazione: P(n, k) = C(n, k) × k!

I sorteggi della lotteria sono combinazioni (l’ordine delle palline non conta). Le posizioni di arrivo in una corsa sono permutazioni (primo, secondo, terzo contano).

Triangolo di Pascal

C(n, k) forma il triangolo di Pascal quando disposto:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

Ogni voce C(n, k) è la somma delle due voci sopra di essa: C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Simmetrico: C(n, k) = C(n, n-k).

Proprietà

  • C(n, 0) = C(n, n) = 1: solo un modo per scegliere nulla o tutto.
  • C(n, 1) = n: n modi per scegliere un elemento.
  • Somma della riga n: Σ C(n, k) da k=0 a n = 2ⁿ. Totale sottoinsiemi di un insieme di n elementi.
  • Mazza da hockey: Σ C(i, k) da i=k a n = C(n+1, k+1).

Applicazioni nel mondo reale

  • Probabilità della lotteria: 1 / C(n, k) per numeri esatti estratti.
  • Progettazione del campionamento: selezione di gruppi di test da una popolazione.
  • Genetica: conteggio dei possibili genotipi della prole.
  • Pianificazione: tornei round-robin necessitano di C(squadre, 2) partite.
  • Distribuzione binomiale: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).
  • Selezione del comitato: modi per formare un comitato di 5 membri da 20 membri = C(20, 5) = 15.504.

Numeri grandi: comunque esatti

I risultati crescono in fretta: C(100, 50) ha già 30 cifre. Il calcolatore limita n a 170, coprendo ogni uso pratico come lotterie, comitati e campionamenti, e mantiene ogni risposta esatta perché il calcolo usa aritmetica intera a precisione arbitraria invece dei numeri a virgola mobile.

Domande frequenti

Scegliere k elementi da includere è matematicamente equivalente a scegliere n-k elementi da escludere. Stesso numero di disposizioni. C(10, 3) = C(10, 7) = 120.

C(n, k) = 0 per convenzione quando k > n, non puoi scegliere più elementi di quanti ne hai. Il calcolatore segnala questo e restituisce 0.

Il calcolatore accetta n fino a 170 e restituisce sempre l’intero esatto. Per problemi standard di lotteria e probabilità, n è quasi sempre sotto 100.

No. Le “combinazioni con ripetizione” (chiamate anche multisets) usano una formula diversa, C(n+k−1, k), che questo strumento non calcola. Tratta quel caso come un problema a parte.

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