Calcolatore di Probabilità Binomiale
Data n prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo p, la distribuzione binomiale ti dice quante volte vedrai esattamente k successi. Il calcolatore gestisce la probabilità esatta P(X = k), la cumulativa P(X ≤ k), la coda superiore P(X ≥ k) e la media/varianza in un colpo solo — tutto con la combinatoria basata sul log-gamma in modo da rimanere accurato anche per n = 10.000.
Come calcolare la probabilità binomiale
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1
Inserisci n (numero di prove)
Deve essere un intero non negativo. Valori tipici: 10 lanci di moneta, 100 visitatori di test A/B, 10.000 campioni di produzione.
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2
Inserisci p (probabilità di successo)
Un valore compreso tra 0 e 1. Per una moneta equa p = 0.5; per un tasso di clic del 12% p = 0.12.
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3
Inserisci k (numero target di successi)
Un intero da 0 a n.
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4
Leggi le probabilità
P(X = k) esatta, coda sinistra P(X ≤ k), coda destra P(X ≥ k), più media = np e varianza = np(1-p).
La formula
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)
Dove C(n, k) è il coefficiente binomiale “n scegli k”. Lo strumento utilizza l’aritmetica in log-spazio tramite la funzione gamma per evitare overflow quando n è grande.
Esempio pratico: 10 lanci di moneta, esattamente 7 teste
- n = 10, p = 0.5, k = 7
- C(10, 7) = 120
- P(X = 7) = 120 · 0.5^7 · 0.5^3 = 120 / 1024 ≈ 0.1172
Quindi circa l’11.7% delle volte vedrai esattamente 7 teste in 10 lanci.
Quando si applica la distribuzione binomiale
Tutte e quattro le assunzioni di Bernoulli devono essere valide:
- Numero fisso di prove (n è deciso in anticipo).
- Ogni prova è indipendente dalle altre.
- Solo due risultati per prova (successo / fallimento).
- Probabilità di successo costante p tra le prove.
Se qualche assunzione viene meno (estrazioni dipendenti senza reinserimento, p variabile, più di due risultati), ricorri alla distribuzione ipergeometrica, Poisson-binomiale o multinomiale.
Media, varianza e approssimazione normale
- Media: μ = np
- Varianza: σ² = np(1-p)
- Deviazione standard: σ = √(np(1-p))
Quando np ≥ 10 e n(1-p) ≥ 10, la binomiale è ben approssimata da Normal(μ, σ²) con una correzione di continuità. Il calcolatore segnala questa condizione in modo da poter passare a un’abbreviazione z-score quando applicabile.
Domande frequenti
P(X = k) è la probabilità di esattamente k successi; P(X ≤ k) è la probabilità cumulativa di al massimo k. Per 10 lanci di una moneta equa, P(X = 5) ≈ 0.246 ma P(X ≤ 5) ≈ 0.623.
Sì. Il calcolatore restituisce P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1). Per “più di k”, sottrai un altro: P(X > k) = P(X ≥ k+1).
Fino a 100.000 è stabile grazie al calcolo log-gamma. Oltre, usa l’approssimazione normale o l’approssimazione di Poisson (valida quando p è piccolo e n è grande).
Allora hai bisogno della distribuzione Poisson-binomiale, non della semplice binomiale. Questo calcolatore assume un p costante unico per tutte le n prove.
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