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Calcolatore di Probabilità Binomiale

Passaggio 1 / 4 P(X = k)
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Data n prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo p, la distribuzione binomiale ti dice quante volte vedrai esattamente k successi. Il calcolatore restituisce la probabilità esatta P(X = k) oltre alle code P(X < k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) e P(X > k) in un colpo solo, con aritmetica in log-spazio per restare accurato fino a n = 1.000.

Come calcolare la probabilità binomiale

  1. 1

    Inserisci n (numero di prove)

    Deve essere un intero non negativo. Valori tipici: 10 lanci di moneta, 100 visitatori di test A/B, 1.000 campioni di produzione.

  2. 2

    Inserisci p (probabilità di successo)

    Un valore compreso tra 0 e 1. Per una moneta equa p = 0,5; per un tasso di clic del 12% p = 0,12.

  3. 3

    Inserisci k (numero target di successi)

    Un intero da 0 a n.

  4. 4

    Leggi le probabilità

    Le cinque probabilità: esatta P(X = k), minore di P(X < k), al più P(X ≤ k), almeno P(X ≥ k) e maggiore di P(X > k).

La formula

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Dove C(n, k) è il coefficiente binomiale “n scegli k”. Lo strumento utilizza l’aritmetica in log-spazio per evitare overflow quando n è grande.

Esempio pratico: 10 lanci di moneta, esattamente 7 teste

  • n = 10, p = 0,5, k = 7
  • C(10, 7) = 120
  • P(X = 7) = 120 · 0,5^7 · 0,5^3 = 120 / 1024 ≈ 0,1172

Quindi circa l’11,7% delle volte vedrai esattamente 7 teste in 10 lanci.

Quando si applica la distribuzione binomiale

Tutte e quattro le assunzioni di Bernoulli devono essere valide:

  1. Numero fisso di prove (n è deciso in anticipo).
  2. Ogni prova è indipendente dalle altre.
  3. Solo due risultati per prova (successo / fallimento).
  4. Probabilità di successo costante p tra le prove.

Se qualche assunzione viene meno (estrazioni dipendenti senza reinserimento, p variabile, più di due risultati), ricorri alla distribuzione ipergeometrica, Poisson-binomiale o multinomiale.

Media, varianza e approssimazione normale

  • Media: μ = np
  • Varianza: σ² = np(1-p)
  • Deviazione standard: σ = √(np(1-p))

Quando np ≥ 10 e n(1-p) ≥ 10, la binomiale è ben approssimata da Normal(μ, σ²) con una correzione di continuità. Tieni questa regola come verifica rapida per n grandi, perché il calcolatore restituisce sempre valori esatti.

Domande frequenti

P(X = k) è la probabilità di esattamente k successi; P(X ≤ k) è la probabilità cumulativa di al massimo k. Per 10 lanci di una moneta equa, P(X = 5) ≈ 0,246 ma P(X ≤ 5) ≈ 0,623.

Sì. Il calcolatore restituisce P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1). Per “più di k”, sottrai un altro: P(X > k) = P(X ≥ k+1).

Fino a 1.000 nei passaggi guidati, stabile grazie al calcolo in log-spazio e sufficiente per i casi tipici di lanci di moneta, sondaggi e test A/B. Oltre, usa l’approssimazione normale o l’approssimazione di Poisson (valida quando p è piccolo e n è grande).

Allora hai bisogno della distribuzione Poisson-binomiale, non della semplice binomiale. Questo calcolatore assume un p costante unico per tutte le n prove.

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