Calcolatore di progressione aritmetica
Inserisci il primo termine, la ragione e quanti termini desideri, e questo calcolatore di progressione aritmetica restituisce il termine n-esimo, la somma dei primi n termini e un’anteprima della progressione stessa. Una progressione aritmetica è una successione in cui aggiungi sempre la stessa quantità fissa per passare da un termine al successivo, così da crescere (o decrescere) lungo una linea perfettamente retta. I risultati si aggiornano mentre digiti, senza scorciatoie di arrotondamento e senza nulla da installare.
Come funziona il calcolatore
-
1
Inserisci il primo termine e la ragione
Digita il valore iniziale a₁ e la ragione d che si aggiunge tra un termine e l'altro.
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2
Scegli quanti termini
Imposta n, la posizione del termine che cerchi e il numero di termini da sommare.
-
3
Leggi i risultati
Consulta il termine n-esimo, la somma dei primi n termini e un'anteprima della progressione.
Le formule della progressione aritmetica
Una progressione aritmetica ha un salto costante, la ragione d, tra termini consecutivi. Due formule fanno tutto il lavoro:
termine n-esimo: a_n = a₁ + (n − 1) · d
somma: S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)
Qui a₁ è il primo termine, d è la quantità aggiunta a ogni passo (può essere negativa per una progressione decrescente) e n è quanti termini stai contando. La formula della somma non è altro che la media del primo e dell'ultimo termine, moltiplicata per il numero di termini.
Un esempio svolto
Prendi a₁ = 2 e d = 3. La progressione è 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 …
Per trovare il 10º termine:
a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29
Per sommare i primi 10 termini:
S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155
Quindi il 10º termine è 29 e la somma cumulata è 155.
Termini, ragioni e somme parziali
| n | aₙ = 2 + (n−1)·3 | Sₙ (somma dei primi n) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 5 | 7 |
| 5 | 14 | 40 |
| 10 | 29 | 155 |
Nota che ogni termine sale esattamente di d = 3, il segno distintivo di una progressione aritmetica (non geometrica). La somma parziale Sₙ cresce più velocemente dei termini stessi, perché ogni passo aggiunge l'intera linea cumulata, non solo l'ultimo valore.
Una verifica rapida: la somma è uguale al numero di termini moltiplicato per la media del primo e dell'ultimo termine. Per n = 10 si ottiene 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15,5 = 155, che coincide esattamente con la tabella.
Errori comuni
- Sbagliare di uno con n. La formula usa (n − 1)·d, non n·d. Al primo termine non viene aggiunta alcuna ragione, quindi a₁ = 2, non 5.
- Confondere aritmetica con geometrica. Le progressioni aritmetiche aggiungono una ragione fissa d; quelle geometriche moltiplicano per un rapporto fisso. Se i tuoi salti continuano a raddoppiare, ti serve invece uno strumento per le progressioni geometriche.
- Le ragioni negative vanno benissimo. Una ragione di d = −4 dà una progressione decrescente; valgono le stesse formule.
Domande frequenti
Un elenco di numeri in cui ogni termine differisce dal precedente della stessa quantità fissa, detta ragione. Per esempio, 3, 7, 11, 15 ha una ragione di 4.
Usa a_n = a₁ + (n − 1)·d, dove a₁ è il primo termine, d è la ragione e n è la posizione che cerchi. Questo calcolatore lo applica per te all’istante.
Con S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1)·d), che equivale al numero di termini moltiplicato per la media del primo e dell’ultimo termine. Funziona con ragioni positive, negative o nulle.
No. Ogni calcolo viene eseguito nella sessione del tuo browser e nulla di ciò che digiti viene caricato, salvato o condiviso. I numeri che inserisci non lasciano mai la tua sessione.
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