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Calcolatore Modulo

Passaggio 1 / 3 Resto (a mod b)
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L’operazione modulo (o “mod”) restituisce il resto dopo la divisione intera: 17 mod 5 = 2 perché 17 = 3·5 + 2. È il cuore dell’aritmetica oraria, della crittografia, delle funzioni hash e del modello “ogni N-esima riga” in SQL. Questo calcolatore accetta operandi interi o decimali, mostra esplicitamente il quoziente e il resto, e gestisce le differenze di convenzione del segno tra i linguaggi (il % di Python ≠ il % di C per i negativi).

Come calcolare a mod b

  1. 1

    Inserisci dividendo (a) e divisore (b)

    Qualsiasi numero; decimali e negativi OK.

  2. 2

    Scegli la convenzione del segno

    Divisione troncata (C, Java, Go), divisione arrotondata (Python, Ruby, convenzione matematica).

  3. 3

    Leggi quoziente e resto

    a = q·b + r, con la regola scelta per il segno di r.

  4. 4

    Guarda l'espressione matematica

    I valori sostituiti rendono visibile ogni passaggio.

Due convenzioni per i numeri negativi

Per operandi positivi, tutte le convenzioni concordano: 17 mod 5 = 2. Per i negativi, i linguaggi differiscono:

Linguaggio -17 mod 5 Convenzione
Python, Ruby 3 Arrotondata
C, Java, Go, JS -2 Troncata
Libri di matematica 3 Arrotondata (di solito)

Divisione arrotondata: il quoziente si arrotonda verso −∞. Il resto ha sempre il segno del divisore: stesso segno di b. Divisione troncata: il quoziente si arrotonda verso zero. Il resto ha il segno del dividendo: stesso segno di a.

Per a = -17, b = 5:

  • Troncata: q = -3 (arrotondato verso 0), r = -17 − (-3)·5 = -2.
  • Arrotondata: q = -4 (arrotondato verso -∞), r = -17 − (-4)·5 = 3.

Entrambi sono corretti data la convenzione. Scegli in base al tuo linguaggio.

Dove appare il modulo

  • Tempo. Minuti in un’ora, giorni della settimana, secondi in un giorno, tutta aritmetica mod.
  • Tabelle hash. hash(key) mod table_size sceglie un bucket.
  • Pianificazione round-robin. task_i mod worker_count assegna lavoro.
  • Crittografia. RSA e Diffie-Hellman si basano su mod n con grandi numeri primi.
  • Ogni N-esima riga. In SQL: WHERE id % 3 = 0.
  • Controllo pari/dispari. n mod 2 == 0 significa pari.
  • Modelli alternati. Strisce di righe, colorando ogni altro elemento.
  • Buffer circolari. (index + 1) mod size si avvolge.

Identità utili

  • (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
  • (a · b) mod n = ((a mod n) · (b mod n)) mod n
  • (a^k) mod n può essere calcolato tramite esponenziazione modulare veloce in O(log k), critico per la crittografia con numeri grandi.
  • a mod 1 = 0 per qualsiasi intero a.
  • a mod a = 0.

Modulo decimale

Per numeri reali, la definizione naturale è a mod b = a − b · floor(a/b). 7.5 mod 2.5 = 0 perché 7.5 è un multiplo esatto. 7.6 mod 2.5 = 0.1.

L’operatore % di JavaScript funziona su numeri reali; fmod di Python fa mod reale troncato; % di Python fa mod reale arrotondato.

Esempi risolti

  • 100 mod 7: 100 = 14·7 + 2, quindi resto 2.
  • 25 mod 4: 25 = 6·4 + 1, quindi resto 1.
  • -10 mod 3 (arrotondato): -10 = -4·3 + 2, resto 2. (Troncato darebbe -1.)
  • 17.5 mod 5: 17.5 = 3·5 + 2.5, resto 2.5.

Domande frequenti

Nella maggior parte dei casi sono sinonimi. Formalmente, “modulo” implica spesso la convenzione matematica (arrotondata), mentre “resto” si riferisce spesso alla variante troncata (stile C). I nomi si riflettono nella documentazione dei linguaggi; quando è importante, specifica la convenzione.

Python segue la convenzione matematica (arrotondata), che mantiene il segno del resto corrispondente al divisore. C segue la convenzione dell’ALU hardware (troncata), dove il segno del resto corrisponde al dividendo. Nessuna delle due è sbagliata; sono scelte diverse.

No, la divisione per zero è indefinita. Il calcolatore restituisce un errore per b = 0.

Di solito, sì. Controlla la specifica del tuo linguaggio per la gestione dei numeri negativi, Python e Ruby differiscono da C, Java, Go e JavaScript.

Per la matematica in stile RSA con numeri a 2048 bit, usa una libreria dedicata (il pow(a, b, n) di Python, il BigInteger.modPow di Java). Questo calcolatore gestisce valori quotidiani, non quelli di grado crittografico.

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