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Calcolatore di Moltiplicazione di Matrici

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Inserisci la matrice A (m×n) e la matrice B (n×p). Se le colonne di A corrispondono alle righe di B, il calcolatore restituisce il prodotto AB, una matrice m×p. Ogni voce del risultato è il prodotto scalare di una riga di A con una colonna di B, e lo strumento mostra esplicitamente ciascuna di quelle somme del prodotto scalare, così puoi seguire l’algebra senza dover credere a nulla.

Come funziona la moltiplicazione di matrici

  1. 1

    Imposta le dimensioni

    Righe/colonne di A e B. Le colonne di A devono essere uguali alle righe di B.

  2. 2

    Inserisci i valori

    Compila ogni cella; accettati decimali e negativi.

  3. 3

    Leggi il prodotto

    C = A·B, con dimensioni righe(A) × colonne(B).

  4. 4

    Espandi una cella

    Tocca qualsiasi C_ij per vedere il prodotto scalare riga_i(A) · colonna_j(B) con ciascun prodotto elencato.

La regola

(AB)_ij = Σ_k A_ik · B_kj

La voce (i, j) del prodotto è la somma dei prodotti che abbina la riga i di A con la colonna j di B.

Esempio risolto 2×2

A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]].

  • C_11 = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
  • C_12 = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
  • C_21 = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
  • C_22 = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50

AB = [[19, 22], [43, 50]].

Controlla l’altro ordine: BA = [[23, 34], [31, 46]]. Non uguale a AB, la moltiplicazione di matrici non è commutativa.

Compatibilità delle dimensioni

Dimensioni A Dimensioni B Compatibile? Dimensioni prodotto
2×3 3×4 Sì 2×4
3×3 3×3 Sì 3×3
2×3 4×3 No -
1×n n×1 Sì 1×1 (scalare)
n×1 1×n Sì n×n (prodotto esterno)

Proprietà

  • Associativa: A(BC) = (AB)C.
  • Distributiva: A(B + C) = AB + AC.
  • NON commutativa: AB ≠ BA in generale.
  • Identità: AI = IA = A dove I è l’identità di dimensione appropriata.
  • Matrice zero: A · 0 = 0, ma fai attenzione, AB = 0 NON implica A = 0 o B = 0.

Perché l’ordine è importante nelle applicazioni

  • Grafica computerizzata: le matrici di trasformazione si compongono da destra a sinistra. M_screen = M_projection · M_view · M_model. Scambiare scala e rotazione dà un risultato diverso.
  • Rotazioni: ruotare attorno a X poi Y non è lo stesso che Y poi X.
  • Catene di Markov: la matrice di transizione per il vettore di stato avanza di un passo; scambiare l’ordine è privo di significato.

Complessità computazionale

La moltiplicazione standard di due matrici n×n è O(n³) operazioni. L’algoritmo di Strassen la riduce a O(n^2.81), e i limiti teorici sono ancora più bassi, ma per matrici di dimensioni inferiori a qualche centinaio, il metodo scolastico è il più veloce in pratica grazie ai modelli di accesso favorevoli alla cache.

Domande frequenti

Le colonne del primo devono corrispondere alle righe del secondo. 2×3 · 2×3 fallisce perché A ha 3 colonne ma B ha 2 righe. Dovresti trasporre B: 2×3 · 3×2 va bene e produce un 2×2.

Per la moltiplicazione scalare per matrice, usa il calcolatore di matrici generale, questo strumento è specificamente per moltiplicare due matrici.

Perché ogni voce di AB è un prodotto scalare di una riga di A con una colonna di B; scambiare i punti cambia righe diverse con colonne diverse. Solo coppie speciali (A e il suo inverso, A e l’identità, matrici diagonali con voci distinte) si comportano in modo commutativo.

Sì. Un vettore riga 1×n per un vettore colonna n×1 è uno scalare 1×1 (prodotto scalare). L’inverso, n×1 per 1×n, produce un prodotto esterno n×n, una matrice di rango 1.

No. La moltiplicazione avviene nel tuo browser; i valori non lasciano mai il tuo dispositivo.

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