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Calcolatore di Matrici

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Inserisci una o due matrici di qualsiasi dimensione e il calcolatore esegue l’operazione che scegli, addizione, sottrazione, moltiplicazione scalare o di matrici, trasposizione, inverso, determinante, rango, traccia, e mostra il lavoro intermedio dove è importante. Utile per compiti di algebra lineare, controlli ingegneristici, trasformazioni grafiche e ogni volta che non vuoi fare la riduzione delle righe su una calcolatrice con tasti piccoli.

Come calcolare sulle matrici

  1. 1

    Imposta le dimensioni

    Righe e colonne per la matrice A (e B se l'operazione richiede un secondo operando).

  2. 2

    Inserisci i valori

    Clicca in ogni cella. Decimali, negativi e frazioni (`1/3`) sono accettati.

  3. 3

    Scegli l'operazione

    A+B, A−B, AB, kA, A^T, A^−1, det(A), rango, traccia.

  4. 4

    Leggi il risultato e i passaggi

    Matrice di output più la formula utilizzata e eventuali operazioni intermedie sulle righe.

Operazioni e le loro regole dimensionali

Operazione Regola Dimensioni del risultato
A + B Stesse dimensioni m×n
A − B Stesse dimensioni m×n
k · A Qualsiasi A stessa di A
A · B colonne(A) = righe(B) righe(A)×colonne(B)
A^T (trasposizione) Qualsiasi A n×m
A^−1 (inverso) A è quadrata e det(A) ≠ 0 n×n
det(A) A è quadrata scalare
rango(A) Qualsiasi A scalare
traccia(A) A è quadrata scalare

Perché la moltiplicazione di matrici non è commutativa

Per matrici generali A e B, AB ≠ BA anche quando entrambi i prodotti sono definiti. Ogni voce di AB è un prodotto scalare di una riga di A con una colonna di B; scambiare l’ordine cambia righe e colonne. Le matrici commutative sono l’eccezione (multipli dell’identità, matrici diagonali con voci distinte, alcune rotazioni che condividono un asse).

Test rapido di invertibilità

  • Una matrice quadrata è invertibile iff det(A) ≠ 0.
  • Invertibile ⇔ rango completo ⇔ colonne linearmente indipendenti ⇔ spazio nullo banale.
  • Per una 2×2: A^−1 = 1/det(A) · [[d, −b], [−c, a]].
  • Per matrici più grandi, l’eliminazione di Gauss-Jordan (aumenta con I, riduci a [I | A^−1]) è ciò che utilizza il calcolatore.

Problemi comuni

  • Incongruenze dimensionali. L’errore più comune. Il calcolatore segnala questi errori in anticipo e ti dice esattamente quali dimensioni non concordano.
  • Arrotondamento nell’inverso. L’aritmetica a doppia precisione accumula piccoli errori. Una matrice che è quasi singolare (determinante vicino a zero) produce un inverso che è estremamente impreciso. Controlla il numero di condizione se la precisione è importante.
  • Frazioni non intere. Inserisci 1/3 e il calcolatore lo mantiene esatto dove possibile; torna a numeri decimali una volta che l’operazione introduce numeri irrazionali.

Usi al di fuori dei compiti

  • Grafica computerizzata: matrici di trasformazione 4×4 per traslazione, rotazione, scalatura in 3D.
  • Fisica: tensori degli sforzi e d’inerzia.
  • Apprendimento automatico: matrici di pesi in strati densi; matrici di covarianza; PCA.
  • Networking e modelli di Markov: matrici di transizione e le loro potenze.
  • Economia: modelli input-output (Leontief).

Domande frequenti

Centinaia di righe e colonne funzionano ma diventano lente per operazioni con complessità O(n³) (moltiplicazione, inverso, determinante). Oltre ~500×500, usa una libreria numerica (NumPy, Octave) con routine supportate da BLAS.

Per operazioni semplici (aggiungi, sottrai, moltiplica scalare, trasponi), sì. Per inverso e determinante, il calcolatore può rimanere razionale (lento per matrici grandi) o usare numeri decimali a doppia precisione (veloce ma con arrotondamento). Puoi attivare la modalità.

Eliminazione di Gauss-Jordan: aumenta A con l’identità, riduci a forma a scala ridotta per righe. Se la metà sinistra diventa I, la metà destra è A^−1; se no, A è singolare e non ha inverso.

No, questo calcolatore è solo per numeri reali. Per matrici complesse, usa uno strumento dedicato per matrici complesse.

No. Tutti i calcoli avvengono nel tuo browser.

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