Calcolatrice ipergeometrica

Cosa significa il calcolo

N è la dimensione della popolazione, K il numero di successi presenti, n gli elementi estratti e X i successi nel campione. Si estrae senza reinserimento: un elemento estratto non può essere estratto di nuovo.

Per ottenere esattamente k successi:

P(X = k) = C(K, k) × C(N - K, n - k) / C(N, n)

C(a, b) è il numero di modi per scegliere b elementi tra a. Sono possibili solo da max(0, n - (N - K)) a min(n, K) successi. Un numero esatto fuori da questo intervallo ha probabilità zero, anche se è compreso tra zero e la dimensione del campione. Al massimo k somma le probabilità esatte fino a k; almeno k le somma da k in poi. Un evento cumulativo sotto o sopra l’intervallo possibile può quindi avere probabilità zero o uno.

Esempio: cinque estrazioni tra 20 elementi

Una scatola contiene 20 elementi, sette dei quali contrassegnati. Ne estrai cinque senza reinserimento e vuoi esattamente due elementi contrassegnati. Inserisci N = 20, K = 7, n = 5, k = 2 e scegli Esattamente k.

P(X = 2) = C(7, 2) × C(13, 3) / C(20, 5) = 21 × 286 / 15504 = 6006 / 15504 ≈ 0,387384.

È circa il 38,74%. Con Al massimo k ottieni P(X ≤ 2) ≈ 0,793215; con Almeno k, P(X ≥ 2) ≈ 0,594169. Entrambi gli eventi cumulativi comprendono il risultato di esattamente due.

Media, varianza e differenza dalla distribuzione binomiale

Il numero atteso di successi è n × K / N. Quando N > 1, la varianza è n × (K/N) × (1 - K/N) × (N - n)/(N - 1); per N = 1 è zero. L’ultimo fattore considera il cambiamento della composizione della popolazione rimanente.

La documentazione R sulla distribuzione ipergeometrica descrive le corrispondenti funzioni di probabilità esatta e di distribuzione cumulativa.

Usa un modello binomiale quando le prove sono indipendenti e hanno tutte la stessa probabilità di successo, per esempio quando rimetti l’elemento prima dell’estrazione successiva. Usa il modello ipergeometrico per un numero fisso di estrazioni da una popolazione finita senza reinserimento. La calcolatrice accetta numeri interi e calcola la distribuzione nel browser. I passaggi guidati conservano temporaneamente i dati in questa scheda; in un’altra scheda o dopo la scadenza della sessione potrebbe essere necessario ricominciare.

Per probabilità non nulle estremamente piccole può comparire Inferiore a 10^-300, perché i normali numeri decimali non riescono a mostrarne il valore completo. Il CSV include anche il logaritmo in base 10 della probabilità per ogni risultato possibile, così puoi valutarne l’ordine di grandezza.