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Calcolatore di progressione geometrica

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Una progressione geometrica è una sequenza di numeri in cui ogni termine è il precedente moltiplicato per un valore fisso chiamato ragione. Inserisci il primo termine, la ragione e quanti termini vuoi, e questo calcolatore restituisce il termine n, la somma dei primi n termini e un’anteprima della progressione stessa. Tutto si aggiorna all’istante nel tuo browser mentre digiti, così puoi esplorare schemi di crescita, decrescita e capitalizzazione senza calcolare potenze e radici a mano. Funziona con numeri interi, decimali, frazioni scritte come decimali e ragioni inferiori a 1 per le progressioni decrescenti.

Come usare il calcolatore di progressione geometrica

  1. 1

    Inserisci il primo termine e la ragione

    Digita il primo termine (a₁) e la ragione (r). Una ragione maggiore di 1 fa crescere la progressione; una ragione tra 0 e 1 la fa decrescere.

  2. 2

    Scegli quanti termini

    Imposta il numero di termini (n). Il calcolatore trova il termine n e somma per te i primi n termini.

  3. 3

    Leggi i risultati

    Consulta il termine n, la somma parziale e un'anteprima della progressione, il tutto ricalcolato man mano che modifichi i dati.

Le formule

In una progressione geometrica ogni termine è uguale al termine precedente moltiplicato per la ragione r. Partendo dal primo termine a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

La somma dei primi n termini (la somma parziale) è:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) per r ≠ 1

Quando la ragione è esattamente 1, tutti i termini sono uguali, quindi la somma è semplicemente Sₙ = n · a₁. Se la ragione è strettamente compresa tra −1 e 1, la somma infinita converge a a₁ / (1 − r).

Esempio svolto

Prendi a₁ = 2 e r = 3, e chiedi n = 5 termini.

  • Progressione: 2, 6, 18, 54, 162
  • 5° termine: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
  • Somma: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

Ogni termine è esattamente 3 volte il precedente, e i cinque termini sommati danno 242.

Termini e somme parziali a colpo d’occhio

n Termine aₙ = 2·3^(n−1) Somma Sₙ
1 2 2
2 6 8
3 18 26
4 54 80
5 162 242

Errori comuni

  • Sfasamento di uno sull’esponente. Il termine n usa r^(n−1), non rⁿ: al primo termine la ragione non è ancora stata applicata.
  • Ragione uguale a 1. Se inserisci r = 1 nella formula principale della somma, dividi per zero. Usa invece Sₙ = n · a₁; questo strumento cambia formula automaticamente.
  • Geometrica o aritmetica. Una progressione geometrica moltiplica per una ragione fissa; una aritmetica aggiunge una differenza fissa. Confonderle porta a termini del tutto sbagliati.
  • Ragioni negative. Una ragione come −2 fa alternare il segno dei termini (2, −4, 8, −16, …); è valida e il calcolatore la gestisce.

Dove compaiono le progressioni geometriche

Le progressioni geometriche modellano tutto ciò che cresce o decresce di una percentuale costante a ogni passo. L’interesse composto moltiplica un saldo per lo stesso fattore in ogni periodo, così i saldi formano una progressione geometrica. La crescita della popolazione, il decadimento radioattivo misurato in tempi di dimezzamento, le altezze dei rimbalzi di una palla lasciata cadere e l’ammortamento annuo di un bene seguono tutti lo stesso schema. Riconoscere la ragione in dati reali ti permette di proiettare il valore successivo, stimare un totale progressivo o valutare se si applica la formula della somma infinita convergente quando la ragione si trova tra −1 e 1.

Domande frequenti

In una progressione geometrica ogni termine è il precedente moltiplicato per una ragione fissa (2, 6, 18, …). In una progressione aritmetica ogni termine è il precedente più una differenza fissa (2, 5, 8, …). Le progressioni geometriche crescono o decrescono in modo esponenziale; quelle aritmetiche cambiano a ritmo costante.

Usa la formula chiusa aₙ = a₁ · r^(n−1). Moltiplica il primo termine per la ragione elevata alla potenza n − 1. Per esempio, l’8° termine di 2, 6, 18, … è 2 · 3⁷ = 4374. Questo calcolatore lo fa all’istante.

Sì. Una ragione tra 0 e 1 (come 0,5) fa decrescere la progressione verso zero, e una ragione negativa (come −2) fa alternare i segni. Inserisci il valore come decimale e il calcolatore gestisce correttamente entrambi i casi.

No. I tuoi numeri vengono inviati al server solo per eseguire il calcolo. Non vengono memorizzati né usati per nessun altro scopo.

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