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Calcolatore di Fibonacci

Passaggio 1 / 3 N-esimo numero di Fibonacci
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Scegli quanti termini vuoi (da 1 a 200) e questo calcolatore di Fibonacci costruisce la successione F(1), F(2), F(3)… in cui ogni numero è la somma dei due precedenti. Riporta l’n-esimo numero di Fibonacci, la somma cumulata dell’intera successione e il rapporto tra gli ultimi due termini, che converge alla sezione aurea. Ogni valore è calcolato con aritmetica esatta su interi grandi, così che perfino il 200° termine, un numero di 42 cifre, viene restituito senza errori di arrotondamento.

Come funziona il calcolatore

  1. 1

    Inserisci il numero di termini

    Digita quanti numeri di Fibonacci ti servono, da 1 fino a 200.

  2. 2

    Scegli una modalità

    Mostra la successione, limitata ai primi 100 termini, oppure solo l'n-esimo termine se ti interessa solo il valore finale.

  3. 3

    Leggi i risultati

    Consulta l'n-esimo numero di Fibonacci, la somma di tutti i termini e l'approssimazione della sezione aurea, tutto esatto.

La formula di Fibonacci

La successione di Fibonacci è definita da una semplice ricorrenza:

F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)   per n > 2

Ogni termine è la somma dei due precedenti. Questo calcolatore adotta la convenzione F(1) = 1, F(2) = 1, così la successione inizia con 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Un esempio svolto

Per trovare F(10), procedi sommando termine per termine:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

Quindi F(10) = 55. La somma di questi dieci termini è 143, e il rapporto tra gli ultimi due, 55 / 34 ≈ 1,6176, è già vicino alla sezione aurea φ ≈ 1,6180339887.

Successione, somma e sezione aurea

n F(n) Somma di F(1)..F(n) F(n) / F(n-1)
5 5 12 1,6667
10 55 143 1,6176
15 610 1596 1,6181
20 6765 17710 1,6180

Un’identità elegante: la somma dei primi n numeri di Fibonacci è uguale a F(n+2) − 1. Per n = 10 vale F(12) − 1 = 144 − 1 = 143, in accordo con la tabella.

Errori comuni

  • L’indicizzazione varia. Alcuni testi partono da F(0) = 0. Questo strumento usa F(1) = 1, F(2) = 1, quindi sposta l’indice di uno se lo confronti con una tabella basata su F(0).
  • Overflow in virgola mobile. Calcolare grandi numeri di Fibonacci con i normali numeri in virgola mobile fa perdere precisione oltre F(78) circa. Questo calcolatore usa aritmetica esatta su interi grandi, così F(200) (un numero di 42 cifre) viene restituito per intero.
  • La sezione aurea è un limite, non un’uguaglianza. F(n) / F(n-1) si limita ad avvicinarsi a φ; non è mai esattamente uguale per un n finito. Con valori piccoli di n lo scarto è ben visibile.

Domande frequenti

Una serie di numeri in cui ogni termine è la somma dei due precedenti, a partire da 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Compare in tutta la matematica e in natura, dalla disposizione delle foglie alle conchiglie a spirale.

Tramite la ricorrenza F(n) = F(n-1) + F(n-2). Questo strumento somma i termini in modo iterativo con aritmetica esatta su interi grandi, così che perfino F(200) viene calcolato senza arrotondamenti.

Al crescere di n, F(n) / F(n-1) converge alla sezione aurea φ ≈ 1,6180339887, una proprietà fondamentale della successione dimostrata a partire dalla sua forma chiusa (la formula di Binet).

Nulla di ciò che inserisci viene salvato o condiviso. Il numero viene inviato ai nostri server solo per calcolare i risultati e, nel flusso passo passo, compare anche nell’indirizzo della pagina tra un passo e l’altro. Non viene usato per nient’altro.

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