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Calcolatore del metodo di Eulero

Passaggio 1 / 3 Approssimazione con il metodo di Eulero

Inserisci l’equazione e il punto iniziale

Per dy/dx = f(x,y), inserisci solo f(x,y). Usa * per moltiplicare e ^ per le potenze. Funzioni ammesse: sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs. Racchiudi gli argomenti tra parentesi. Nell’equazione usa il punto per i decimali.

Avanti

Approssima la soluzione di un problema ai valori iniziali del primo ordine nella forma dy/dx = f(x,y), con y nota alla x iniziale. Inserisci il membro destro dell’equazione, il punto iniziale, un passo positivo e la x finale. Il calcolatore applica il metodo di Eulero esplicito fino alla destinazione e mostra tutti i valori intermedi. Il risultato è un’approssimazione numerica, non una soluzione esatta.

Come usare il metodo di Eulero

  1. 1

    Inserisci l’equazione differenziale

    Per dy/dx = x + y, inserisci x + y come f(x,y). Poi indica le coordinate x e y del punto iniziale noto.

  2. 2

    Imposta l’intervallo

    Inserisci un passo positivo h e una x finale. Il calcolatore può procedere verso valori di x maggiori o minori.

  3. 3

    Leggi l’approssimazione

    Vedi la stima di y alla x finale e una tabella di x, y, pendenza e passo effettivo per un massimo di 200 passi.

Cosa calcola lo strumento

Partendo da (x₀, y₀), il metodo di Eulero esplicito ripete yₙ₊₁ = yₙ + hₙ f(xₙ, yₙ) e xₙ₊₁ = xₙ + hₙ. Ogni pendenza è valutata all’inizio del passo. Il valore positivo inserito per il passo è la lunghezza massima; il calcolatore applica il segno opportuno se la destinazione è a sinistra del punto iniziale. Se la distanza rimanente è minore del passo scelto, l’ultimo passo si accorcia per raggiungere esattamente la x finale.

Per dy/dx = x + y, y(0) = 1, h = 0,1 e x finale 0,3:

Passo x y approssimata Pendenza usata per il passo successivo
0 0 1 1
1 0,1 1,1 1,2
2 0,2 1,22 1,42
3 0,3 1,362 Fine

Nella tabella del calcolatore, la pendenza usata per un aggiornamento compare nella riga ottenuta dopo quell’aggiornamento, sotto « Pendenza precedente ». La pendenza 1,42 compare quindi al passo 3. La soluzione esatta dell’esempio è y = 2eˣ - x - 1, pari a circa 1,3997 per x = 0,3. La stima di Eulero, 1,362, è più bassa perché a ogni passo segue la tangente all’inizio. Un h minore in genere riduce l’errore per un problema regolare, ma l’errore dipende dall’equazione e dall’intervallo. Lo strumento non stima un limite dell’errore.

Scrivi le moltiplicazioni in modo esplicito, per esempio 2*x, x*y o 2*sin(x). L’espressione accetta x, y, parentesi, +, -, *, /, ^, le costanti pi ed e e le funzioni sin, cos, tan, exp, log, sqrt, abs. Usa il punto per le costanti decimali nell’espressione, come 0.5*y. Negli altri campi numerici puoi usare il separatore decimale locale o un punto non ambiguo; evita i separatori delle migliaia.

Il metodo di Eulero e la sua formula ricorsiva sono descritti in OpenStax Calculus Volume 2. Il capitolo di LibreTexts sui metodi numerici spiega l’effetto del passo sull’errore di approssimazione.

Domande frequenti

Inserisci un passo positivo. Se la x finale è minore della x iniziale, il calcolatore procede automaticamente all’indietro. La tabella mostra il segno del passo effettivamente usato.

L’ultimo passo viene ridotto alla distanza rimanente. Per esempio, con h = 0,4 da x = 0 a x = 1, i passi sono 0,4, 0,4 e 0,2, fino a x = 1.

No. Il metodo di Eulero esplicito segue le pendenze delle tangenti locali e accumula errori di approssimazione. Il valore indicato è una stima alla x finale, non una soluzione simbolica esatta né una garanzia sull’errore.

Lo strumento tratta equazioni del primo ordine scritte esplicitamente come dy/dx = f(x,y), con un valore iniziale noto di y. Non risolve equazioni di ordine superiore, sistemi, equazioni da risolvere in forma implicita o equazioni non definite lungo il percorso richiesto.

Il limite mantiene leggibile la tabella ed evita calcoli eccessivi nel browser. Aumenta h o scegli una x finale più vicina se l’intervallo richiede più passi.

Sì. Il file CSV contiene i valori numerici x e y non arrotondati, la pendenza usata per raggiungere ogni riga e il relativo passo con segno. La tabella a schermo arrotonda i valori per renderli leggibili.

Il calcolo avviene nel browser. Nel percorso a passaggi, i dati vengono salvati solo in questa scheda e l’URL contiene un identificativo casuale anziché l’equazione o i valori.

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