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Calcolatore dell'area di un'ellisse

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Inserisci il semiasse maggiore (a) e il semiasse minore (b) e questo calcolatore restituisce l’area dell’ellisse con la formula esatta A = πab, un perimetro accurato tramite l’approssimazione di Ramanujan e l’eccentricità, che indica quanto l’ellisse sia allungata. Utile per piani da tavolo ovali, piste di atletica, orbite, aiuole da giardino e qualsiasi forma ovale in cui la formula del cerchio non basta. Quando a è uguale a b l’ellisse diventa un cerchio, quindi l’area si riduce a πr².

Come si calcola l'area di un'ellisse

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    Inserisci il semiasse maggiore (a)

    La metà del diametro più lungo dell'ellisse, misurata dal centro al bordo più lontano. Va bene qualsiasi unità (cm, pollici, metri) e il risultato usa la stessa unità per la lunghezza e il suo quadrato per l'area.

  2. 2

    Inserisci il semiasse minore (b)

    La metà del diametro più corto, misurata dal centro al bordo più vicino. Non deve essere maggiore di a; se li scambi i conti restano validi, poiché il più lungo viene semplicemente trattato come asse maggiore.

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    Leggi i risultati

    L'area usa la formula esatta A = πab. Il perimetro impiega l'approssimazione ad alta precisione di Ramanujan (non esiste una forma chiusa esatta). L'eccentricità e = √(1 − b²/a²) va da 0 (un cerchio) verso 1 (un'ellisse lunga e stretta).

Le formule

Per un’ellisse con semiasse maggiore a e semiasse minore b:

  • Area: A = π × a × b

  • Eccentricità: e = √(1 − b²/a²), dove 0 ≤ e < 1

  • Perimetro (approssimazione di Ramanujan): con h = (a − b)² / (a + b)²,

    P ≈ π(a + b) × (1 + 3h / (10 + √(4 − 3h)))

Non esiste una formula esatta semplice per il perimetro di un’ellisse: richiede un integrale ellittico. La seconda approssimazione di Ramanujan qui sopra è precisa a meglio di una parte su dieci milioni per la maggior parte delle forme di tutti i giorni, molto più precisa di qualsiasi metro a nastro.

Esempio svolto

Prendi un piano da tavolo ovale con semiasse maggiore a = 5 e semiasse minore b = 3.

  • Area = π × 5 × 3 = 47,1239 unità quadrate
  • h = (5 − 3)² / (5 + 3)² = 4 / 64 = 0,0625
  • Perimetro ≈ π × 8 × (1 + 3×0,0625 / (10 + √(4 − 0,1875))) ≈ 25,5269 unità
  • Eccentricità = √(1 − 9/25) = √0,64 = 0,8

Il tavolo è quindi piuttosto allungato (e = 0,8) e servirebbero circa 25,53 unità di bordatura per rifinirlo.

Valori di riferimento

a b Area (πab) Perimetro Eccentricità
1 1 3,1416 6,2832 0,0000
2 1 6,2832 9,6884 0,8660
3 2 18,8496 15,8654 0,7454
5 3 47,1239 25,5269 0,8000
10 4 125,6637 45,7888 0,9165
10 10 314,1593 62,8319 0,0000

Errori da evitare

  • Asse contro semiasse. Le formule richiedono i semiassi (dal centro al bordo), non i diametri interi. Se hai misurato larghezza e altezza totali, dimezza prima ciascun valore.
  • Il cerchio è un caso particolare. Quando a = b l’eccentricità è 0 e l’area è semplicemente πr². Se l’eccentricità risulta 0, hai un cerchio, non un’ellisse.
  • Il perimetro è una stima. Anche la formula di Ramanujan è un’approssimazione, sebbene estremamente buona. Non aspettarti che coincida con il risultato esatto dell’integrale ellittico fino a venti cifre decimali.

Domande frequenti

L’asse maggiore e l’asse minore sono i diametri interi più lungo e più corto dell’ellisse. Il semiasse maggiore (a) e il semiasse minore (b) ne sono la metà, misurati dal centro. Questo calcolatore usa i semiassi, quindi dimezza un diametro intero prima di inserirlo.

A differenza dell’area, il perimetro di un’ellisse non ha una formula chiusa semplice: richiede un integrale ellittico completo di seconda specie. L’approssimazione di Ramanujan usata qui è precisa a meglio di una parte su dieci milioni per le forme tipiche, più che sufficiente per qualsiasi misurazione pratica.

L’eccentricità misura quanto l’ellisse sia allungata. Un valore di 0 indica un cerchio perfetto (a = b). Man mano che il valore si avvicina a 1, l’ellisse diventa più lunga e stretta. Ad esempio, e = 0,8 è un ovale chiaramente allungato, mentre e = 0,1 è quasi rotondo.

No. Il calcolo si aggiorna in tempo reale mentre digiti. I numeri che inserisci vengono inviati al nostro server solo per calcolare il risultato e non vengono salvati né condivisi, quindi puoi usarlo liberamente per misurazioni private.

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